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在 Objective-C 中实现三角形从上到下的最大路径和是一个非常典型的动态规划问题。这个问题可以通过将问题分解成更小的子问题来解决，从而找到最优解。以下将详细介绍如何在 Objective-C 中实现这一算法。
动态规划是一种解决复杂问题的有效方法，其核心思想是将一个大问题分解成多个小问题，从而找到最优解。对于三角形的最大路径和问题，我们可以将其分解为从每个顶点到底边的路径之和。
初始化一个二维数组：我们将创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从顶点 (i,j) 到底边的路径和。这个数组的大小将与三角形的边长有关。
填充边界条件：对于底边的点（即 y = 0 的点），它们的路径和为0，因为它们位于底边，无法再向上走。
递推公式：对于每一个点 (i,j)，路径和可以表示为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]
这里，matrix[i][j] 是三角形中的元素值，max 函数将选择较大的路径和。
优化空间复杂度：由于每个点只依赖于其上方和左方的点，可以将空间复杂度从 O(n²) 降低到 O(n)，通过使用同一行的前一个值来存储。
以下是实现该算法的完整 Objective-C 代码：
#import@interface TrianglePath : NSObject- (NSInteger)maxPathSum:(NSArray *)matrix;- (NSArray *)path;@end
假设我们有一个三角形矩阵 matrix，如下所示：
// 例如，三角形矩阵可能是：let matrix = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]];
通过上述算法，我们可以计算出从顶点到各个点的路径和，并找到最大的路径和。对于上述示例，最大路径和为 18。
通过动态规划方法，我们可以有效地解决三角形从上到下的最大路径和问题。在 Objective-C 中实现这一算法，主要包括初始化、边界条件和递推步骤。通过优化空间复杂度，可以显著提高算法的效率。
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